ΘΕΜΑ Α

Α1. Έστω x_l, x₂, …, x_K οι τιμές μίας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, όπου κ, ν μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με κ ::; ν. Για τη σχετική συχνότητα f_i της τιμής x_i, i = 1, 2, … , κ να αποδείξετε ότι:

f_l + f₂ +⋯ + f_K = 1

Μονάδες 6

Α2.   Να διατυπώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν

παρατηρήσεων.

Μονάδες 4

Α3. Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και Β το σύνολο των x ∈ Α, στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη. Πώς ορίζεται η συνάρτηση της πρώτης παραγώγου της f;

Μονάδες 5

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α.   Το εύρος θεωρείται αξιόπιστο μέτρο διασποράς.

β.   Αν   για   μία   συνάρτηση    f    ισχύουν    f r(x_O) = 0    για x_O ∈ (α, β), f r(x) > 0 στο (α, x_O) και f r(x) < 0 στο (x_O, β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) μέγιστο στη θέση x = x_O.

γ. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μίας ποιοτικής μεταβλητής.

?.    Αν g(x) -=I 0 τότε (f(x))

g(x)

f r(x) ∙ g(x) - f(x)∙ gr(x)

=                   g(x)

ε. Σε ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων το εμβαδόν  του  χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση:

f(x) = ^l x3 - x2 - 3x + 1,    όπου   x ∈ ℝ

Β1.   Να βρείτε την παράγωγο f r(x).

Μονάδες 4

Β2.   Να  μελετήσετε τη  συνάρτηση f  ως  προς τη  μονοτονία (μον. 6)

και να βρείτε το είδος και την τιμή των ακροτάτων (μον. 4).

Μονάδες 10

Β3.   Να   βρείτε   την   εξίσωση   της   εφαπτομένης    της   γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A(0, f(0)).

Μονάδες 6

Β4.   Να υπολογίσετε το όριο:

lim

X→-l

f r(x)

x + 1

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ

Ο αριθμός των βιβλίων που διάβασαν επτά μαθητές στις θερινές διακοπές είναι αντίστοιχα:

4, 5, 4, κ, 0, 3,7   όπου κ φυσικός αριθμός.

Γ1.   Αν ο μέσος αριθμός βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές είναι

x- = 4,  να  βρείτε  τον  κ.

Μονάδες 5

Για κ = 5:

Γ2.   Να υπολογίσετε τη διάμεσο του δείγματος.

Γ3.   Να υπολογίσετε τη διακύμανση s2 του δείγματος.

Μονάδες 4

Μονάδες 10

Γ4.   Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής CV του δείγματος και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές.

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ

Στο διπλανό σχήμα απεικονίζεται ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου, εμβαδού 100 m2.

Δ1.   Να    αποδείξετε    ότι    η    περίμετρος    του    οικοπέδου,     ως συνάρτηση του x, δίνεται από τον τύπο

Π(x) = 2x + 200 ,    x > 0

x

Μονάδες 5

Δ2. Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης Π(x) (μον. 5) και  να αποδείξετε ότι το ορθογώνιο με τη μικρότερη περίμετρο είναι τετράγωνο (μον. 3).

Μονάδες 8

Δ3. Αν x_l, x₂ είναι τιμές της πλευράς του παραπάνω ορθογωνίου με x_l, x₂ ∈ (0,10) και x_l < x₂, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης

Α = Π(x_l) - Π(x₂)

x_l - x₂

και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 6

Δ4.   Να υπολογίσετε το όριο

Πr(x)

lim           

X→lO

√10x - 10

Μονάδες   6

 Σχολιασμός θεμάτων

Οι μαθητές εξετάστηκαν σήμερα στα Μαθηματικά (Άλγεβρα) ΕΠΑΛ σε θέματα κλιμακούμενης δυσκολίας και με ιδιαίτερες απαιτήσεις κυρίως στο θέμα Δ. Αναλυτικότερα:

Θέμα Α: Κλασικό θέμα θεωρίας με μοναδική διαφοροποίηση το γεγονός ότι ζητήθηκαν δύο ορισμοί αντί για έναν.

Θέμα Β: Εξετάζει βασικές έννοιες διαφορικού λογισμού, χωρίς ιδιαίτερες απαιτήσεις.

Θέμα Γ: Άσκηση στατιστικής με έμφαση στην χρήση τύπων και χωρίς δυσκολίες στις πράξεις. Θέμα Δ: Μαθηματικό πρόβλημα, που απαιτούσε καλή κατανόηση των μαθηματικών εννοιών σε Διαφορικό Λογισμό και Γεωμετρία με αρκετές δυσκολίες στα ερωτήματα Δ3 και Δ4.